선형대수 - Eigenvalues and Eigenvectors (고유값과 고유벡터)

고유값과 고유벡터의 정의

정사각 행렬 A에 대해, 만약 v != 0인 벡터 v와 스칼라 λ가 존재하여 Av = λv를 만족한다면,

v를 A의 고유 벡터라고 하고 λ를 고유값이라고 한다.

 

고유값과 고유벡터를 찾는 방법

고유값과 고유벡터를 찾기 위해서는 다음 단계를 따른다 :

1. 특성 방정식 찾기

특성 방정식은 A 행렬에서 람다 스칼라를 뺀 뒤 determinant한 모양이다.

람다 스칼라와 행렬은 뺄 수 없으므로 람다 스칼라에 단위 행렬을 곱해준다.

 

2. 고유값 λ  찾기

위에서의 특성 방정식을 해결하여 고유값을 찾는다.

 

3. 고유벡터 v찾기

각 고유값에 대해 (A- λI)v = 0을 풀어 고유벡터를 찾는다.

 

 

고유값과 고유벡터 찾기 예제

위 행렬 A의 고유값과 고유벡터를 찾아보자.

먼저 특성 방정식을 찾는다.

det(A- λI) = 0에 A를 대입한 후 식을 전개한다.

와 같은 형태로 표현할 수 있다.

행렬끼리 계산하면 대각선에 있는 요소들에 - λ가 된다.

determinant를 계산하면

가 되어 위와 같은 2차 방정식이 나온다.

여기서 고유값은 저 λ의 해를 구하면 된다.

2차 방정식을 인수분해하면 ( λ - 2 ) ( λ - 5 )가 나온다.

따라서 고유값은 2와 5이다.

 

이제 고유벡터를 찾아보자. 먼저 고유값이 2일때의 고유벡터는

로 표현할 수 있다. 2를 곱한 단위 행렬을 A에서 빼면 위와 같은 형태가 되고

저 행렬이 0이 되려면 2x1 - 1x2 이기 때문에,

 

고유값이 5일때도 마찬가지로 구하면 된다.