선형대수 - Diagonalization (대각화)

 

N x N 행렬 A가 대각화 가능하다는 것은 A가 다음과 같이 쓸 수 있다는 것을 의미한다.

 

여기서 D는 람다로 이루어진 대각 행렬이고, P는 고유 벡터들로 구성된 행렬이다.

 

Diagonalization 예시

lambda1 = 2, lambda2 = 5이고 각각 이에 따른 고유 벡터가

일때, 행렬 P와 행렬 D를 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다.

 

P는 고유벡터들을 행렬로 표현한 모습이고, D는 각 고유값들을 대각화하여 행렬로 표현한 모습이다.

이제 P^-1, 즉 P의 역행렬을 구해야한다.

 

역행렬은 1을 det(P)로 나누고 adj(P)로 곱하면 된다.

 

determinant 계산을 통해 3이 나와 1/3이 되고,

 

adjoint 계산을 통해 위와 같은 행렬을 구할 수 있다.

adjoint 계산을 하는 방법은 이전 역행렬 관련 포스트에서 다루었기 때문에 밑 그림으로 대체한다.

 

따라서 P의 역행렬은 다음과 같다.

 

각 원소에 1/3을 곱해주면 된다.

전체적으로 A를 PDP-1 로 표현하면 이와 같이 표현할 수 있다.