[수2] 02. 함수의 연속

 

함수의 연속

 

함수 f(x)가 다음 세 조건을 만족시켰을 때, f(x)는 x=a에서 함수의 연속이라고 표현한다.

 

 

 

1. x=a에서 정의된다는 말은, 함수가 a값에서 존재하다는 뜻이다.

 

2. limf(x)가 존재한다는 말은, 함수의 극한값이 존재하다는 뜻이고,

 

3. limf(x)=f(a)의 뜻은 함숫값과 극한값이 서로 같음을 이야기한다.

 

결국, a에서 함숫값이 있고 극한값이 존재하며, 그 값이 서로 같을 때 연속이 성립하다는 것이다.

 

 

 

 

 

 

 

구간에서의 함수의 연속

 

두 실수 a, b의 구간을 표현할 때는 밑의 그림처럼 나타낸다.

 

 

닫힌구간에서의 함수의 연속을 나타내 보자.

함수 f(x)가 열린구간에서 연속이라고 했을 때,

와 같으면, 함수 f(x)는 닫힌구간 [a, b]에서 연속이라고 한다.

 

 

 

 

 

 

 

 

연속함수의 성질

 

두 함수 f(x), g(x)가 x=a에서 연속이면 다음 함수도 연속이다.

 

 

또한 같은 구간에서 연속이면 위의 함수 역시 그 구간에서 연속이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

최대 / 최소 정리

 

최대 최소 정리의 정의는 "f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이면 반드시 최솟값과 최댓값을 가진다."입니다

그 말은 열린구간이 포함될 경우 최대/최솟값이 존재하지 않을 수 있다는 이야기입니다.

예를 들어,

이와 같을 때는 최솟값만 존재하거나 최댓값만 존재한다.

경우에 따라 둘 다 없는 경우도 존재한다.

 

 

 

 

 

 

 

사잇값의 정리

 

함수 f(a)와 f(b) 사이의 임의의 수를 함숫값으로 가지는 x좌표가 a와 b사이에 하나 이상 반드시 존재한다.

이 정리의 특징은,

1. 닫힌구간이라는 조건이 필요하다.

2. 사잇값의 정리로는 사잇값이 있다는 사실만 알 수 있으며 구체적인 값을 구할 순 없다.

c가 사이값을 나타냄.