[수2] 03. 미분계수와 도함수

 

 

평균 변화율, 증분

일반적으로 함수 f(x)에서 x의 값이 a에서 b까지 변할 때,

y의 값은 f(a)에서 f(b)까지 변하게 됩니다.

이때, x의 변화량 b-a를 x의 증분이라고 하고, 이것을 기호로 Δx(델타 x)로 나타냅니다.

y도 역시 증분이 f(a)-f(b)이며 Δy로 나타낼 수 있다.

이 상황에서 평균 변화율은,

 

평균 변화율 공식 2가지 형태로 이루어져 있다.

앞의 식처럼 평균 변화율을 나타낼 수 있다.

그리고 평균 변화율은, 함수의 그래프 위의 두 점 (a, f(a)), (b, f(b))를 지나는 직선의 기울기와 같다.

 

 

 

 

함수 f(x)=2x^2 + 1에서 1에서 3까지의 평균 변화율은,

평균 변화율 예시

다음과 같이 구할 수 있다.

 

 

 

 

 

 

미분계수

Δx -> 0 일 때 평균 변화율의 극한값이 존재하면 미분 가능하다고 표현하고 그 극한값을 미분계수라 한다.

 

f프라임으로 나타내며, 위의 식과 밑 의식 두 가지로 표현이 가능하다.

함수 f(x)가 x=a에서 미분 가능하다면, f(x)가 x=a에서 연속이다.

하지만 연속이라고 미분이 가능한 건 아니고, 우미 분계수와 좌 미분계수가 같고 연속이어야 미분 가능하다.

 

 

 

 

 

도함수

함수 f(x)에 미분계수가 있다면, 값에 따라 대응하는 값이 있을 겁니다.

그 대응하는 새로운 함수를 도함수라 하고, 이것을 기호로 f'(x) f프라임 함수라고 나타냅니다.

 

이 도함수를 구하는 것을 f(x)에 대하여 미분한다고 하고, 그 계산법을 미분법이라고 합니다.

 

 

 

 

 

 

미분법의 공식

 

1,3,4,5는 실수 배, 합, 차, 곱 미분법이고,

2번이 미분법의 공식이다. 

외워두면 계산할 때 매우 편리하다는 장점이 있다.