[기하] 1-11. 이차곡선의 접선 - 3

수악중독님의 교재를 참고하여 작성하였습니다. 학생이다 보니 틀린점이 있으면 마음껏 지적해주세요

수식은 mathjax api를 사용하였습니다.

 

 

 

 

쌍곡선의 접선

타원 ${x^2 \over a^2}-{y^2 \over b^2} = 1$ 와 직선 $y=mx+n$를 연립하여서

저번에 포물선의 접선을 구한 방식 그대로 중근이 나오도록 하면

이 나온다.

 

 

 

 

이제 여기서, 쌍곡선 위의 특정한 점 $(x_1, y_1)$위에서의 접선의 방정식을 알아보자

 

먼저 $(x_1, y_1)$의 접선의 방정식은 $y-y_1 = m(x-x_1)$이다.

이제 위의 식과 판별식으로 구한식을 연립하면

$y_1-mx = \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ 가 되고 이를 양변을 제곱하여 정리하면

$(x_1^2-a^2)m^2 - 2x_1y_1m+(b^2+y_1^2) = 0$이 나오고 

${x^2 \over a^2}-{y^2 \over b^2} = 1$식을 이용하여

$x_1^2-a^2$는 $b^2 \over a^2y_1^2$가 되고 $b^2+y_1^2$는 $b^2 \over b^2x_1^2$가 됨을 알수있다.

이를 위에 식에 대입하여 정리하고 m의 값을 구하면 $m = {a^2y_1 \ oveer b^2x_1}$이고

${x^2 \over a^2}-{y^2 \over b^2} = 1$를 이용하여 정리하면

최종적으로 ${x_1 x \over a^2}-{y_1 y \over b^2} = 1$가 된다