[기하] 1- 09. 이차곡선의 접선 - 1

수악중독님의 교재를 참고하여 작성하였습니다. 학생이다 보니 틀린점이 있으면 마음껏 지적해주세요

수식은 mathjax api를 사용하였습니다.

 

 

 

포물선의 접선

 

이번엔, 포물선에 포함된 점 $(x_1, y_1)$과 만나는 접선의 방정식을 알아보도록 하자.

접선은 포물선과 직선을 연립한 방정식에서 중근이 나와야 하므로

먼저 연립한 방정식 $m^2x^2 + 2(mn-2p)x + n^2 = 0$을 판별식으로 바꾼다.

그럼 $D = 4(mn-2p)^2 - 4m^2n^2$ 라는 식이 나오고 정리하면

$16p(p-mn)$이 된다.

 

여기까지는 저번 위치관계를 배울때 나왔던 식이다.

이 판별식이 0이 되어야 하는데, p가 0이면 포물선이 나오지 않으므로 p는 0이 아니다.

그러면 $p-mn = 0$ -> $p=mn$ -> $n = {p \over m}$ 라고 할수있다.

따라서 접선의 방정식은, $y= mx +n$에서 n대신 집어넣어 

$y = mx + {p \over m}$가 나온다.

 

 

 

 

이제 $(x_1, y_1)$과 만나는 접선을 알아보아야 하는데 그 접선은

x=0이 아니면, 접선의 기울기를 m이라고 했을때 $y-y_1 = m(x-x_1)$이다.

그리고 아까 구한 포물선에 접하는 직선의 방정식 $y = mx + {p \over m}$과 $y-y_1 = m(x-x_1)$

를 y에 대하여 같다고 놓으면 $mx-mx_1+y_1 = mx+{p \over m}$가 된다.

양변에 m을 곱해주면 $m^2x-m^2x_1+my_1 = m^2x+p$이고, 양변의 $m^2x$를 없애주면

$x_1m^2-y_1m+p=0$이라는 이차방정식이 나온다. 그러니 근의공식을 이용하여

$m = {y_1 \pm \sqrt{y_1^2-4px_1} \over 2x_1}$가 되고,

 

여기서 $y_1^2$은 $4px_1$이기 때문에 루트 안은 0이 되고 $m = {y_1 \over 2x_1}$만 남는다.

그리고 $y_1^2$은 $4px_1$이기 때문에 $x_1 = {y_1^2 \over 4p}$로도 볼수있고,

$m = {y_1 \over 2x_1}$에 대입하고 약분하면, 최종적으로 $m = {2p \over y_1}$이다.

 

마지막으로 $y-y_1 = m(x-x_1)$여기에 m대신 위 식을 대입하면

$y-y_1 = {2p \over y_1}(x-x_1)$이고, 양변을 $y_1$로 곱하여 

$y_1y-y_1^2 = 2p(x-x_1)$로 만들고 이를 정리하면 

$y_1y=2p(x+x_1)$이 된다.

 

 

 

 

 

 

 

다음엔 타원과 쌍곡선의 접선 방정식을 알아보자