[기하] 1 - 08. 이차곡선과 직선의 위치 관계 - 2

 

수악중독님의 교재를 참고하여 작성하였습니다. 학생이다 보니 틀린점이 있으면 마음껏 지적해주세요

수식은 mathjax api를 사용하였습니다.

 

 

이번엔 이어서 타원, 쌍곡선과 직선의 위치관계를 알아보자

 

 

 

 

 

타원과 직선의 위치관계

 

 

 

타원의 방정식 ${x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2} = 1$과 직선 $mx+n$의 교점 개수는

두 방정식을 연립하여 나온 판별식으로 알아낼 수 있다.

 

타원의 방정식 ${x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2} = 1$의 y에 직선 $mx+n$ 을 대입하면,

${x^2 \over a^2}+{(mx+n)^2 \over b^2} = 1$ 이 되고

전개하면 $(a^2m^2+b^2)x^2 + 2a^2mnx+a^2(n^2-b^2) = 0$ 이 나온다.

 

 

 

판별식을 D라고 하면,

$D = 4a^4m^2n^2-4(a^2m^2+b^2)(a^2n^2-a^2b^2)$

최종적으로 판별식은 $= 4a^2b^2(a^2m^2-n^2+b^2)$이 된다.

D > 0 이면 서로다른 두점,

D = 0 이면 접하고,

D < 0 이면 만나지 않는다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

쌍곡선과 직선의 위치관계

 

 

쌍곡선의 방정식도 마찬가지로 ${x^2 \over a^2}-{y^2 \over b^2} = 1$과 직선 $mx+n$의 교점 개수는

두 방정식을 연립하여 나온 판별식으로 알아낼 수 있다.

 

쌍곡선의 방정식 ${x^2 \over a^2}-{y^2 \over b^2} = 1$의 y에 직선 $mx+n$ 을 대입하면,

${x^2 \over a^2}-{(mx+n)^2 \over b^2} = 1$ 이 되고

전개하면 $(a^2m^2-b^2)x^2 + 2a^2mnx+a^2(n^2-b^2) = 0$ 이 나온다.

 

판별식을 D라고 하면,

$D = 4a^4m^2n^2-4(a^2m^2-b^2)(a^2n^2+a^2b^2)$

최종적으로 판별식은 $= 4a^2b^2(-a^2m^2+n^2+b^2)$이 된다.

D > 0 이면 서로다른 두점,

D = 0 이면 접하고,

D < 0 이면 만나지 않는다.

 

이때 만약, $a^2m^2-b^2 = 0$. 즉$m^2 = {b^2 \over a^2}$이라면,

n=0일때는 쌍곡선의 점근선 중 하나이므로 만나지 않는다.

 

n=0이 아닐때는 점근선에 평행한 직선이므로 항상 쌍곡선과 한점에서 만난다.