[기하] 1 - 05. 쌍곡선의 방정식

수악중독님의 교재를 참고하여 작성하였습니다. 학생이다 보니 틀린점이 있으면 마음껏 지적해주세요

수식은 mathjax api를 사용하였습니다

 

 

이번엔 타원에 이어서 쌍곡선의 방정식을 알아보자.

 

타원이 두 초점의 합이 일정한 집합이라면,

쌍곡선은 그반대로 두 초점의 차가 일정한 집합이다.

 

 

 

쌍곡선의 정의

 

두 초점이 있는 포물선 사이의 직선 A'A을 주축이라 부르고,

주축과 곡선이 만나는 부분을 꼭짓점이라 부른다.

주축의 중점을 쌍곡선의 중심이라 부른다.

 

 

 

 

쌍곡선의 방정식

 

두 초점의 차가 2a인 쌍곡선의 방정식은 밑과 같고, (주축이 x축)

 

 

두 초점의 차가 2b인 쌍곡선의 방정식은 이와 같다 (주축이 y축)

 

 

 

방정식의 유도는 이전해서 했던 타원의 방정식 유도와 유사하니

전편을 보고 스스로 해보도록 하자.

 

 

 

 

 

 

#1

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구하는 쌍곡선의 방정식 모양이 ${x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2} = 1$과 같으므로

$a^2$ 과 $b^2$의 값만 구하면 쌍곡선의 방정식을 만들 수 있다.

 

먼저 거리의 차가 8이기 때문에 $2a=8$. 즉 $a=4$이다.

이제 $a^2=16$이고, $c^2=25$인걸 알았으니 관계식 $c^2 = b^2+a^2$를 이용하여

$b^2 = 9$라는 것을 알아낼 수 있다.

그러므로 위의 방정식은 ${x^2 \over 16}+{y^2 \over 9} = 1$