[기하] 1 - 03. 타원의 방정식

수악중독님의 교재를 참고하여 작성하였습니다. 학생이다 보니 틀린점이 있으면 마음껏 지적해주세요

수식은 mathjax api를 사용하였습니다

 

이번엔 타원에 대하여 알아보도록 하자

 

 

 

타원의 정의

타원 : 두 초점 $F$와 $F'$의 거리의 합이 일정한 점들의 집합

장축 : 두 초점을 잇는 축

단축 : 두 초점에 수직이 되는 축

타원의 중심 : 단축과 장축이 서로 수직으로 만나는 교점

 

 

 

 

타원의 방정식

 

 

아까 배운 타원의 성질을 이용하여 타원의 방정식을 유도해 보도록 하자.

 

두 초점 $F(c,0), F'(-c,0)$으로 부터의 거리의 합이 2a일때,

선분 PF + PF' = 2a 이므로

$\sqrt{(x-c)^2 + y^2}$ + $\sqrt{(x+c)^2 + y^2}$ = $2a$

두 점 사이의 거리 즉 선분의 길이를 알 수 있다.

여기서 F'부분을 이항하면, $\sqrt{(x-c)^2 + y^2}$ = $2a$ - $\sqrt{(x+c)^2 + y^2}$이다

양변을 제곱하여 루트를 없애주고 풀어주면,

$x^2-2cx+c^2+y^2 = 4a^2$ - $4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2}$ + $x^2+2cx+c^2+y^2$ 가 되는데 

양변에 중복을 다 없애고 나면

-$4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2}$ = $4a^2+4cx$인데, 여기서 양변을 4로 나누면

$cx+a^2$ = $a\sqrt{(x+c)^2 + y^2}$가 된다.

하지만 아직도 보기 불편한 루트가 있기 때문에 다시 한번 양변에 제곱을 한다. 그러면

$a^2(x^2+2cx+c^2+y^2)$ = $a^4+2a^2cx+c^2x^2$ 가 되고, 괄호를 풀어 분배하면

$a^2x^2 + 2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2$ = $a^4+2a^2cx+c^2x^2$  가 된다

이제 $2a^2cx$는 이항으로 없애주고, 나머지 식은 묶어서

$(a^2-c^2)x^2+a^2y^2$ = $a^2(a^2-c^2)$과 같이 만들어준다.

여기서 피타고라스 정리에의해 $a^2 - c^2 = b^2 (b>0)$이므로 바꾸면 (양수라고 가정)

$b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2$가 된다.

마지막으로 양변을 $a^2b^2$로 나누면

최종적으로 타원의 방정식 ${x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2} = 1$이 나온다 

그리고, 두 초점이 y축 위에 있을때는, $a^2 = b^2- c^2$가 성립된다.

 

 

타원의 방정식을 이해하는데 좀 많은 수식이 있어서 

오랫동안 보지 않고 다시 이해하려면 많은 시간이 걸릴 것 같다.