[기하] 1 - 01. 이차곡선_포물선의 방정식

 

포물선의 정의

평면 위에서, 움직이지 않는 정직선 L과, L위에 있지 않은 초점 F에서

l과 f사이의 거리가 같은 점들의 집합을 포물선 이라 한다.

또한 포물선과 가로축의 교점을 포물선의 꼭짓점이라 부른다.

 

 

 

 

 포물선의 방정식

먼저 위에서 말했듯, 포물선은 정직선(준선)과, 초점과의 거리가 같은 점들의 집합이다.

그렇다면 성질에 의해 직선PH과 직선PF의 길이는 같다.

먼저 PH의 길이를 방정식으로 나타내보자,

(선과 점까지의 거리)준선과 x만큼 떨어져 있으므로 |x-(-p)|로 나타낼 수 있다.

PF의 길이는 두점 사이의 거리 공식을 이용하여

           두점 사이의 거리 공식             (x-p)^2 + (y-q)^2의 제곱근

로 나타낼 수 있다.

직선PH과 직선PF의 길이는 같기 때문에, 두개의 방정식은 같다. 양변을 정리해보면

y^2 = 4px 라는 결론이 나온다. 준선이 y= -p일 경우에는 반대로

x^2= 4py이다.

 

 

 

다음과 같이 p가 음수여도, 준선과의 거리는 |-p-x| 즉, |x+p|와 같기 때문에 포물선의 방정식이 적용된다.

다만 y^2=4px에서 p가 음수이니 p를 기준으로 대칭이다.

 

 

예를 들어, 다음과 같은 방정식에 대한 초점의 좌표와 준선의 방정식을 알아야 된다고 했을때

아까 포물선의 방정식을 이용하면 간단하게 알아낼 수 있다.

 

먼저, x^2 = -4py가 방정식이니 이 형태로 바꾸어 주면 되는것이다.

그러면 x^2 = -4 * 4/5 * y로 바꿀수 있고, (p를 4/5로 바꾼것이다)

따라서 초점이 4/5이고, 준선의 방정식은 y= -p일때 x기준이므로 y= -4/5가 되는것이다.

 

초점 : 4/5

준선의 방정식 : y = -4/5