[미적분] 04. 수열의 극한의 대소관계

수악중독님의 교재를 참고하여 작성하였습니다. 학생이다 보니 틀린점이 있으면 마음껏 지적해주세요

수식은 mathjax api를 사용하였습니다

 

 

 

오늘은 수열에 대한 대소 관계를 알아보도록 하자

 

 

 

수열의 대소관계

 

 

먼저, $a_n \leq b_n$ 이면, 이의 극한값도 대소관계가 적용된다.

이건 어찌보면 당연하게 느껴질 수 있으나, 증명과정은 매우 복잡하여 일단 건너가도록 하자.

 

 

 

그리고 예외적으로, 위와 같은 상황에서는 $a_n < b_n$이지만, 서로 1을 향해 수렴하므로

극한값은 1로 같다고 할 수 있다. 

 

 

 

 

다음과 같은 경우도, $a_n = b_n$ 이기 때문에 $c_n$도 동시에 a가 된다.

그리고 아까처럼 크거나 같은 부등호가 아니어도, 수렴하는 값이 같으면 $a_n = b_n = c_n$이

성립될 수 있다.

 

이제 대소관계를 이용하여 극한값을 하나 구해보도록 하자.

 

 

 

 

 

#1 

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일단 $cosn\theta$는 -1보다 크거나 같고, 1보다 작거나 같다.

그러면 양변에 n으로 나누면,

가 성립하고 n분의 1과 -n분의 1 둘다 극한값이 0으로 수렴하기 때문에

$cosn \theta \over n$도 극한값이 0이 된다.