[미적분] 05. 등비수열의 극한

수악중독님의 교재를 참고하여 작성하였습니다. 학생이다 보니 틀린점이 있으면 마음껏 지적해주세요

수식은 mathjax api를 사용하였습니다

 

 

 

이번엔 등비수열 $\{r_n\}$의 극한을 알아보자.

 

먼저, 등비수열에는 r이 뭐냐에 따라 4가지로 구분된다.

 

 

 

등비수열의 수렴과 발산

 

 1. r이 1보다 큰 양수일때, n이 계속 커지면 r도 무한대에 가까워지므로 극한값은 $\infty$이다.

 

2. r이 1이면, n이 계속 늘어나 차수가 높아져도 1이기 때문에 극한값은 1이다.

 

3. r이 $(-1<r<1)$ $|r<1|$ 이면, 차수가 커질수록 분모가 커지므로 극한값은 0이다.

 

4. r이 -1보다 작을땐, 진동하며 발산한다.

예를 들어 r = -2의 극한값은 n이 늘어날때 마다 4, -8, 16, -32처럼 음수와 양수를 오가며 

무한대로 커지기 때문에 진동(발산)한다.

 

이 성질들을 보면, 2번과 3번 경우에만 수렴한다고 볼 수 있다.

 

 

 

 

따라서, 등비수열$\{r_n\}$이 수렴할 조건은 $(-1<r\leq 1)$ (r=1 포함) 이라고 말할 수 있고

 

첫째항이 a인 등비수열 $\{ar_n-1\}$ 에서는 a가 0이여서 0으로 수렴하거나,

$(-1<r\leq 1)$이여서 0으로 수렴 or 1*a로 극한값이 a로 수렴한다.