[미적분] 06. 급수의 수렴과 발산

수악중독님의 교재를 참고하여 작성하였습니다. 학생이다 보니 틀린점이 있으면 마음껏 지적해주세요

수식은 mathjax api를 사용하였습니다

 

 

 

 

급수와 부분합

 

급수 : 수열 $a_n$의 각 항을 더한 식으로, 시그마를 사용하여 표현하면 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n $이 된다.

 

부분합 : 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n $ 중에서, 첫째항부터 일정 부분 n항까지의 합($S_n$)을 부분합이라고 한다.

시그마로 나타내면 $\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k $와 같다.

 

 

 

 

 

 

급수의 수렴과 발산

 

이제 급수와 부분합의 개념을 알았으니 급수의 수렴과 발산을 알아보도록 하자.

 

부분합으로 이루어진 수열 $S_1, S_2, S_3, ...$을 $\{ S_n\}$ 이라 할때, 

수열 $\{ S_n\}$이 수렴하면 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n $ 도 수렴하고,

수열 $\{ S_n\}$이 발산하면 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n $ 도 발산한다.

 

그 이유는, $S_n$이 첫째항에서 n째항까지 더한것이고, 급수도 마찬가지이기 때문에

다음과 같이 나타낼 수도 있다.

 

 

 

급수의 수렴과 발산을 이용하여 다음 급수의 극한값을 조사해보자.

 

#1

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다음 급수의 극한값을 조사하시오.

 

$1 \over n(n+1)$ 은 $1 \over n$ - $1 \over n+1$이기 때문에,

+-가 반복되어 처음 $1 \over 1$과 무한으로 가는 n항만 남기때문에

로 나타낼수 있으며, $1 \over n+1$은 0으로 수렴하기 때문에 

극한값은 1이된다.